无动力踝关节图|杵臼关节阿基米德

作者 | 萧文强（香港大学数学系退休教授）

来源 | 《数学传播》第39卷第1期

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中国数学家华罗庚说过这样一段话：

“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁、无处不用数学。”

(《华罗庚科普著作选集》，上海教育出版社， 1984；原刊于1959年5月28日《人民日报》)。

让我就以一个数学应用例子来开始。1981年春某天，一位香港大学医学院的同事向我们提出他在医学实验当中碰到的一个数学问题。这个问题和它的解决方法，且听我慢慢道来。

动物的骨骼关节有好几类， 其中一类叫做杵臼关节(ball-and-socket)。杵凸出的部分和臼凹入的部分并非完全吻合， 唯其如此，杵臼关节才能较好承受应力。但杵臼之间不时磨擦却促使两者的形状渐趋吻合， 幸好关节的正常生长又抵消了这种吻合现象，这个此消彼长的过程在医学上叫做重模过程(remodelling process)。那位医学院同事的研究项目，就是探讨外力对关节重模过程的影响。了解这个情况，对于医疗步骤而言是有用的。

实验是要计算受不同程度外力的杵臼接触部分的面积。在实验过程中，把关节剖开， 把臼部分拍照， 利用一种染色技巧，把杵臼的接触部分区别，在照片上显现。如果要计算照片上着色区域的面积，那还好办，打方格便成了(见图1)。数一数着色区域占多少方格，就能估计面积。方格分得越细， 估计值越准确。

图1

那位同事碰到的困难是什么呢? 照片只是平面投影， 他真正要计算的部分却是个曲面(见图2)。为了作近似计算， 不妨假设骨臼是个半圆球， 它的横截面照片是半圆球面的投影，是一个圆。圆内某些区域着了色，那是半圆球面上着了色的区域的投影。数学问题是：怎样从圆内着色的区域推算半圆球面上相应区域的面积呢?

图2

数学提供了解决这种问题的理论工具：高等微积分的曲面积分(surface integral)，这属于大学一年级的数学课程范围。但是， 随意给出圆内某个区域，它可能难以用数学公式刻画，怎么计算它上面的曲面积分呢？那位医学院同事也不一定熟悉高等微积分，他要求的是一种既简单又可以自己动手量度的方法， 于是向我们提出这个问题。大家来想一下计算平面区域面积的方法， 为什么打方格这办法行得通呢？关键在于每一个方格的面积是相等的。估计图形所占方格的数目， 乘以每格面积，就得到答案了。怎样在曲面上做类似的事情呢? 请注意，我们看到的不是曲面而是它的平面投影的照片，只能把照片上的区域分成小部分， 于是自然地提出以下的问题：怎样把照片划成小部分，每部分相应的曲面的面积都是相等的？如果能这样做，就能估计曲面上区域的面积了。既然平面上的方格那么有用，把它们投影到曲面上， 问题就解决了吗? 可惜答案是：不！平面上的方格是等面积的，把它们投影到球面上却不再是等面积的。位于中心附近的一格相应的曲面面积，比起位于圆周附近一格相应的曲面面积是小了(见图3)。

图3

不难看到，如果我们画一组等分圆周的半径，由这些线段组成的扇形在曲面上的相应面积是相等的。如果我们能够再适当地画一组同心圆，把这些扇形分为小部分， 使曲面上的相应面积相等，问题不是解决了吗(见图4)？

图4

我带着问题回到家，它一直在脑子里盘旋。晚饭后我跟一岁半的儿子玩耍，他正在把弄一件玩具，是一个由一组颜色不同厚度相等的球台合拼而成的圆球(见图5)。瞠着那件玩具，我忽地灵机一动，想到了关键的问题！那套球台的厚度两两相等，它们的侧面积是否也两两相等呢?如果的确相等，把球台投影到通过球中心的平面，就得到所需的同心圆了。待儿子睡着后我连忙拿纸笔算一算，果然不出所料，两个球台只要厚度相等，它们的侧面积也相等。我再翻查数学手册，证实我的计算无误。手册上写着，从半径是r的圆球截取一个厚度是h的球台，它的侧面积是2 π r h(见图6)。特别地，具相同h的球台有相等的侧面积。

图5

图6

利用球台侧面积的性质， 我们懂得如何把圆划分， 使每小部分相应的曲面面积相等， 如图所示(见图7)。数一数着色区域占多少部分便能估计半圆球上着色区域的面积。由于那组同心圆在平面上不是均匀的， 把划分加细时必须作出适当处理， 其中的技术细节， 就从略了。

图7

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虽然杵臼关节的问题告一段落， 我意犹未尽， 因为球台侧面积的公式很有意思， 十分漂亮却不明显。如此优美的公式， 前人是怎样发现的呢?

为求进一步了解这个问题，我翻阅书本，尤其是古代希腊的数学文献，因为在那个时代，几何发展尤其蓬勃。果然，我在阿基米德(archimedes，公元前287年至公元前212年)的著述《圆球与圆柱》 (on the sphere and cylinder)里面找到了解释。阿基米德考虑的是整个圆球的表面积aa，以今天的表达方式，答案是a=4πr2( r是圆球的半径)，这是书中第三十三条定理的内容。他也考虑球冠的表面积，答案就是由顶点至边缘的线段作为半径的圆的面积， a=πl2=2πrh(由于l2=2rh， h是球冠的高)，这是书中第42条定理的内容(见图8)。一个球台可以看成是从一个大球冠减去一个小球冠，假设大球冠的高是h1，小球冠的高是h2，那么球台的侧面积是a=2πrh1−2πrh2=2πr(h1−h2)=2πrh，其中h是球台的厚度。

图8

阿基米德运用“穷竭法”(method of exhaustion) 来证明这些定理， 内里蕴含后世微积分的极限(limits) 思想， 在这儿不岔开话题了， 不如让我用现代数学语言来解释球台侧面积的公式吧。

一个球台可以看成是由众多层截头圆锥体近似地组成，每层越薄，组成的物体便越趋近于球台。先来看一层典型的截头圆锥体，顶是一个半径为 ri的圆，底是一个半径为 r′i的圆，斜长是 ℓi，高是 hi，从圆球中心至圆锥侧面的垂直线长度是pi。利用相似三角形的性质可知

( ri r′i)/2:pi= hi:ℓi，

因此 ℓi(ri r′i)=2pihi (见图9)。我们也知道截头圆锥体的侧面积是 πℓi(ri r′i) (留给读者作为习题，可以参考图9)，也就是 2πpihi。把球台看成是由众多层截头圆锥体组成，每层越薄， pi 趋近于定值 r，所以众多层截头圆锥体的侧面积合起来趋近于2πrh1 2πrh2 ⋯=2πr(h1 h2 ⋯)=2πrh，其中h是众 hi 的和， 等于球台的厚度。

图9

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阿基米德的时代， 是古代希腊数学的高峰， 几何方面尤其发达， 由以上叙述的例子可见一斑。但奇怪地， 虽然有些结果， 一经提出， 当时任何一位希腊数学家完全不会感到陌生， 却从来没有人提出过， 遑论证明了。以下我们将要介绍一个这样的结果， 它距阿基米德2000年后才有人提出来并且试作解释。这个结果对后世数学发展非常重要， 可以说得上是数学史上的一个里程碑。让我从一封书信开始叙述这段故事吧。

1750年11月，瑞士数学家欧拉(leonhard euler， 1707 ∼1783)写了一封信给德国数学家哥德巴赫(christian goldbach， 1690 ∼1764)，谈及一些多边形(polygon)与多面体(polyhedron)类比的问题。特别地，对多边形而言有以下两个熟知的结果：

(*1)顶点(角)的数目等于边的数目(记作n); (*2)内角和等于2(n−2)个直角。

大家在初中数学课上都碰到(*2)吧?对凸多边形(convex polygon)容易证明这回事，但其实对凹多边形(concave polygon)，那依然是对的，详细情形在这儿就不说了，回到欧拉的信吧。他在信上引进几个参数：多面体的面的数目，现多记作f;顶点的数目，现多记作v;棱的数目，现多记作e。请注意一点， 欧拉特意引入“棱”(edge， 原拉丁文是acies) 这个新名词， 有别于“边” (side， 拉丁文是latus)， 是有其用意的， 暂且按下不表， 迟些再谈！用欧拉自己的话说：“由于没有公认的名称， 我把它叫作棱。” 接着， 欧拉在信上写下了几条命题， 他还说：“命题6和命题11是重要的， 但那是如此困难， 至今我还没有发现满意的证明。”

让我们先看命题11：若多面体有v个顶点，则面角和等于4(v−2)个直角。严格而言， 面角和并非(*2) 中内角和的真正类比， 因为多边形的边的真正类比是面， 所以多边形的内角的真正类比应该是面与面构成的角。但是如果考虑面与面构成的角， 却找不到较好的类比结果。反而考虑面角和， 倒有一条与(*2) 相似的公式。

试看一个特殊例子，即是一个棱柱体(prism)，它的底和面是相同的nn边形，连接相应的点是nn条垂真的棱(见图10)。那么底和面的内角和各是2(n−2)个直角，合起来是4(n−2)个直角。侧面由n个矩形组成，每个矩形的内角和是4个直角，合起来是4n个直角。因此，棱柱体的内角和是8n−8个直角，也就是4(v−2)个直角，因为v等于2n。反之， 把命题11应用到这个棱柱体上， 可以得到(*2) 这条公式。

图10

上面只是提供了一条线索，我们无从确定欧拉如何发现命题11的公式。但根据他的工作习惯，让我们试图重建一个可能的策略，就是考虑一些实验数据。大家可不要小觑这个看似平凡的策略呀！以Σ记作面角和， v记作顶点数目，收集一些例子，写下各例子的v和Σ，将会看到Σ全是4的倍数，而且随v增大(见图11)。

图11

再仔细观察， Σ等于4(v−2)个直角这回事，已经呼之欲出了！再从另一个角度看看这回事，可以加强对这个猜测的信念，那就是看看面角和与4v个直角相差多少。为什么看这个差呢?面角和可以把每一面的内角相加而得，也可以把每一个顶点上的面角相加而得。如果多面体是个凸多面体，每个顶点上的面角相加不能大于4个直角。二千多年前的希腊数学家也懂得这回事，它是公元前三世纪初欧几里得(euclid，约公元前330至公元前275)的巨著《原本》 (elements)里卷十一的第二十一条定理。因此在凸多面体，面角和Σ不大于4v个直角(见图12)，看看两者相差多少或者有点意思。要是你收集一批例子，便会看到总有4v−Σ=8个直角(见图11)，于是便猜测Σ是4(v−2)个直角了。虽然欧拉在信上及论文中都没有声明，其实他只是考虑凸多面体的情况。不过如今我们晓得多面体是凸是凹都没有关系。你试找一个凹多面体的例子看看，面角和还是4(v−2) 个直角(见图13)。

图12

图13

数学上难有巧合，所谓巧合，内里必有文章！虽然欧拉当时在信上并没有证明面角和是4(v−2)个直角，他已有理由相信那是一个可靠的猜测，因此提出了信上的命题11。这条命题完全以古代希腊的几何语言表达，但从来没有在古代希腊的数学文献上出现，奇怪吗?如果我们看看信上的命题6，便能够加深对这个问题的理解。命题6是：多面体的面的数目和顶点的数目合起来，比棱的数目多二，即是说f v−e=2。你有没有发现，命题六和命题十一都是描述同一回事呢?假定f个面分别是e1边形、e2边形、⋯⋯、ef边形，那么面角和等于2(e1−2) 2(e2−2) ⋯ 2(ef−2)个直角，即是2(e1 e2 ⋯ ef)−4f个直角。多面体的每条边都属于两个面，因此在e1 e2 ⋯ ef中，每条边都算了两次，所以e1 e2 ⋯ ef=2e。由此可见面角和等于 4e−4f=4(e−f)个直角。因此，面角和等于4(v−2)个直角，相当于v−2=e−f，即是f v−e=2。请留意， 命题六的提法中完全不涉及角的大小或线段的长短， 虽然命题11却涉及角的度量！这一点与古代希腊几何的传统极不合拍， 因为古代希腊几何论及全等形、相似形、三角、圆等等， 往往都涉及角和线段的度量。像命题6这种结果， 与角或线段的度量无关， 超越了古代希腊几何的范围。运用古代希腊几何的知识， 不足以驾驭这种问题， 甚至根本不会提出这种问题。(从高等数学的角度看， 这两个味道完全不同的定理是叙述同一回事， 内里蕴含深刻的意义。限于作者的学识， 不容易在这儿说明白， 只好暂时搁下不表。)

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为什么欧拉会提出这种问题呢?从他的另一份文献elementa doctrinae solidorum (1750年十一月在圣彼得堡科学院宣读，但直至1758年才刊印出来)，或者可见其端倪。欧拉在那篇论文说：“在平面几何把多边形分类很容易，只要看它有多少条边，它就有多少个角(见图14)。在立体几何把多面体分类却困难得多，单看它有多少个面是不足够的。”的确，以下所示的三个六面体(见图15)，你不会说它们是同类吧?它们每一个的顶点数目都不同。即使它们的面的数目和顶点的数目都各自相同，你也不一定愿意说它们是同类的，例如以下所示的两个六面体(见图16)，各有八个顶点，其中一个每面都是四边形，另一个有两面是四边形，两面是五边形，两面是三角形。为了突显多面体的各个面的边，欧拉特意引入“棱”这个新术语，与平面图形的“边”有别。看来似乎他起初对“棱”寄予厚望，以为它有助于把多面体分类。让我们再审视上一节的实验数据，看来若f相同与v相同，则e也相同。对多面体分类而言，此非妙事，它意味“棱”的引入没有帮助。但从另一角度看，却有意外收获，它意味f、v、e之间存在着某种关系！这有如1492年哥伦布(christopher columbus， 1451 ∼1506) 本想寻找往中国和印度的海路， 却到了美洲！

图14

图15

图16

e似乎随f和v增大，不妨看看e和f v的关系。从实验数据不难得到猜测f v−e=2(见图17)，多看一些凹多面体，猜测依然成立(见图18)。不过，猜测始终是猜测;无论有多少数据支持，未经严谨证明，没有满意解释，它始终不能算作定理。时至今天，我们知道f v−e=2这道公式对某一大类多面体是正确的。自欧拉以降不少数学家试图证明这道公式，有些人以为证明了，其后又有人指出证明欠善，如此往复摸索，直至1847年(距离欧拉发现该公式已经差不多一个世纪!)施图特(kgc von staudt， 1798 ∼1867) 才给出一个叫人满意的证明。

图17

图18

欧拉在1750年11月的信上结尾说：“我感到诧异，就我所知前人从没有注意到这些立体几何的结果。” 如果他指的是古代希腊数学家，他说对了。但如果他包括所有18世纪或以前的人，话就不对了。他并不晓得笛卡儿(rené descartes， 1596 ∼1650)早在1630年左右已经发现并讨论f v−e=2这道公式，不过笛卡儿的文稿de solidorum elementis直至1860年才重现世间，当时欧拉作古已近80年。今天我们习惯把这道公式叫做欧拉-笛卡儿公式，以纪念两位大师的贡献。(有数学史家考据史料，认为笛卡儿的文稿在运送途中曾经失而复得，在1675年至1676年间德国哲学家数学家莱布尼兹(gottfried wilhelm leibniz， 1646 ∼1716)还把文稿手抄了，但其后原稿及手抄本再度失去踪迹，至1860年才有人找回莱布尼兹的手抄本。也有数学史家认为笛卡儿的文稿其实并没有发现f v−e=2这道公式， 只是后人误读了文稿的内容。)

欧拉在1751年宣读了一篇论文，提出了f v−e=2的一个证明，骤看去是很自然的解释。的确，在十九世纪也有不少数学家接受这样的解释。他按次从多面体削去一个四面体，在过程中保持f v−e的值不变更(见图19)，至最后剩下一个四面体， f v−e的值是4 4 − 6 = 24 4−6=2。但想深一层，这个解释只说明了公式对某些形状的多面体成立。对一般多面体而言，可保证不了这样的削法一帆风顺！法国数学家柯西(augustin louis cauchy， 1789 ∼1857)在1811年对这道公式提出了另一个著名的证明，中心思想相当巧妙。他把多面体其中一个面拿掉，将其余的面摊开来成为一个平面图，于是新的f v−e是原来的f v−e减掉1 (拿走的一面)。接着他把平面图剖分成众多的三角形，过程中需要添加某些边(见图20第三个小图中加上的虚线)，但却不会更改f v−e的值！接着他逐一从外而内把一个一个三角形去掉(见图20小图中着色的部分)，过程中也不会更改f v−e的值(见图20)！最后剩下一个三角形，即是f化为1、v化为3、e化为3，即是f v−e等于1，原来的f v−e 就是2.

图19

图20

欧拉和柯西提出的证明及别的人提出的一些证明后来都受到质疑，其中某些步骤不如想像中理所当然。渐渐越来越多奇奇怪怪的反例被提出来，有些是穿了孔的多面体，有些是在一条棱上相连的两个多面体，有些是在一个顶点上相连的多面体(见图21)。最有趣的一个例子，灵感源自某种双结晶体，是一个立方，中心是个镂空了的小立方(见图22)。据说有人反驳说，那其实是两个多面体，犹如孕妇怀着胎儿，你能否说那位母亲有两个头呢?这些反例其实极富建设性，它们揭示了证明的困难所在，是定义何谓多面体，并找出对那些多面体f v−e=2这道公式成立。当数学家弄清楚问题的症结后， 叫人满意的证明亦随之出现， 不过距离欧拉提出问题， 已经过了一个世纪了。

图21

图22

也许我们应该用“多面形”代替“多面体”，因为我们其实感兴趣的只是多面体的表面，由众多多边形组合而成。姑且从俗，让我们仍然用“多面体”这个名称吧。我们要考虑的多面体，是个怎么样的东西呢?它是由有限多个平面多边形组成，按照下述意义拼凑在一起：(1)若两个多边形相交，它们交于一条公共的边；多边形的每一条边恰好是另一个并且只是另一个多边形的边。(2)对每个顶点，那些包含它的多边形可以排成一连串q1、q2、⋯⋯、qs，使q1与q2有一条公共边， q2与q3有一条公共边， ⋯⋯， qs−1与qs有一条公共边， qs与q1有一条公共边。现在可以叙述何谓欧拉-笛卡儿定理：设p是满足下列两个条件的多面体， (a) p的任何两个顶点可以用一连串棱连接， (b) p上任何由线段(不一定是p的棱)构成的圈把p分划成两片。则对p来说， f v−e=2。

让我们看一个形象化的证明，把棱看作是堤，把面看作是堤围成的区域，其中一面是湖，其余是旱地。每次打破一道堤，唯一条件是决堤后必须多了一块并且仅多了一块旱地被水淹了(见图23)。如此这般，直至全部区域被淹为止，数数有多少道堤破掉。一方面，每打破一道堤即多一块旱地被淹没，因此破掉的堤的数目是f−1，没破掉的堤的数目是e−(f−1)=e−f 1。另一方面，从一个顶点至另一个顶点沿着旱堤走有唯一的路(请读者想一想，为什么会如此?附录中给出一种解释。)所以没给破掉的堤的数目是v−1(也请读者想一想，为什么会如此。附录中给出一种解释。)把两种数法合起来看，有e−f 1=v−1，即是f v−e=2。

图23

05

这道欧拉-笛卡儿公式的数学意义， 较诸它的实际内容和应用来得重要， 超越了古典几何的范围， 开辟了一个新的数学领域。在结尾这一节我只能把它简略地介绍一下。

先来看两个多面体(见图24)。第一个有f=14、v=16、e=28，故f v−e=2；第二个有f=16、v=16、e=32，故f v−e=0。它们有没有相异之处呢?把这两个多面体想像成以橡皮做成(或者以面粉或泥胶搓成)，第一个可以变为一个圆球的面，第二个可以变为一个圆环(救生圈)的面。在变形过程中，允许任意把面拉长缩短，允许任意把面扭曲，但不允许把面撕裂，也不允许把面上不同的点黏合在一起。如果两个立体图形可以通过这种变换过程由一个变成另一个，我们便说它们是同胚(或称拓朴等价)的。与圆球同胚的多面体有一个很漂亮的性质，便是f v−e=2。要把圆环变换成圆球，必须把圆环中间的各点黏合成一点。前面已经说过，这是不允许的，因此圆环与圆球不同胚，但与圆环同胚的多面体也有一个很漂亮的性质，便是f v−e=0。我们把f v−e这个数值叫做那类多面体的欧拉示性数(euler characteristic)。欧拉示性数是一个在同胚关系底下的不变量， 就是说， 在上述拉拉扯扯的过程中， 这个数值是不变更的。这种看法在古希腊几何中从来没有出现， 因为古希腊几何涉及角和线段的度量， 在拉拉扯扯的过程中， 这些度量都变更了。

图24

这种看法导致数学家寻找同胚关系底下别的不变量。这方面的研究在十九世纪后半期渐渐成型，其中法国数学大师庞卡莱(henri poincaré， 1854 ∼1912)的贡献至为重要。欧拉示性数的推广称作欧拉-庞卡莱示性数(euler-poincaré characteristic) (如今回头看看第三节开首的(*1)，虽看似平凡不过，却添了一重新意！它是说v−e=0，命题六是说 f v−e=2。当中涉及的不变量，其一是v−e，另一是v−e f。更一般的情况，是在三维、四维、五维、⋯⋯以至n维空间的研究， 欧拉-庞卡莱示性数就是由某一串数字依次加减而成)。这个新领域， 叫做拓朴学(topology)， 是二十世纪数学发展的主要方向。

以下两本读物， 程度适合中学同学， 可供进一步了解欧拉-笛卡儿公式和拓朴学的关系：

(1) r. courant， h. robbins， what is mathematics ?， oxford university press， 1941;修订本(i. stewart)， 1996 (有中译本， 《数学是什么?》，科学出版社， 1985);

(2) 江泽涵， 《多面形的欧拉定理和闭曲面的拓朴分类》， 人民教育出版社， 1964; 香港版， 智能教育出版社， 2003。

还有一本很好的书， 以师生对话形式讨论欧拉-笛卡儿公式的证明过程， 旨在阐述作者的数学哲学观点， 寓意深刻：

(3) i. lakatos， proofs and refutations ， cambridge university press， 1976 (有中译本， 《证明与反驳》，上海译文出版社， 1987)。

附录：

首先，请注意一件事，从每一点必定能循某些剩下的堤走去任何另一点，而且这条途径是唯一的。这是因为每打破一道堤，它的两个端点都仍被某些还未被打破的堤点接点地连结着，否则不会是多了且只多了一块旱地给淹没了！如果有至少两条不同的途径，便表示其间出现了由某些堤围成的一个圈，但那不可能，因为那意味着还有一块旱地没给淹没(见图25)！用图论(graph theory)的语言，我们说剩下来的堤构成一株树(tree)。既然如此，我们有办法把那v点和那些连结着它们的堤依次排成以下的样子：定了其中一点，设为 a，先考虑走过一道堤便到达的点，放在第一层，再考虑走过两道堤便到达的点，放在第二层，如此类推(见图26)。从图中数一数有多少道堤，答案是v−1。

图25

图26

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