数学小常识50个|最接地气的数学知识

数学教会了我们什么？数学会考什么？很多人以为只要掌握好知识定理和方法技巧，就能从容应对考试，获取高分，如果你这么想，很可能会在大考中失利。

无论是中考还是高考，作为一项全国性的人才选拔考试，要考查的不仅仅是知识掌握程度，更加考查考生运用知识去分析问题和解决问题的能力，以及逻辑思维能力等。

因此，命题老师在设计问题的时候，都会把这些因素考虑在内，结合实际工作生活背景和相关知识内容，形成一些特色鲜明的题型。

​解直角三角形作为初中数学当中一类比较有特色知识板块，一直是全国各地中考数学必考热点内容之一。解直角三角形最大的特点通过角和边建立起相应的等量关系，蕴含着丰富的数形结合思想方法。

同时，学好解直角三角形，可以为高中数学的三角函数做好准备。近几年来，中考数学考查解直角三角形有关知识的题型也不断创新，形式上覆盖了填空题、选择题、解答题等。对于解直角三角形的应用考查,涉及仰角、俯角、方位角、坡度等重要知识点。

今天我们就一起来讲讲如何做好此块内容的复习，通过典型例题分析,指导掌握解题规律。

​解直角三角形，典型中考例题分析1：

一条船上午8点在a处望见西南方向有一座灯塔b，此时测得船和灯塔相距36√2海里，船以每小时20海里的速度向南偏西24°的方向航行到c处，此时望见灯塔在船的正北方向．（参考数据sin24°≈0.4，cos24°≈0.9）

（1）求几点钟船到达c处；

（2）当船到达c处时，求船和灯塔的距离．

​解：延长cb与ad交于点e．

∴∠aeb=90°，

∵∠bae=45°，ab=36√2，

∴be=ae=36．

根据题意得：∠c=24°，

sin24°=ae/ac，

∴ac=90．

90÷20=4.5，

所以12点30分到达c处；

（2）在直角三角形ace中，cos24°=ec/ac，

即cos24°=（36 bc）/90，bc=45．

所以船到c处时，船和灯塔的距离是45海里．

考点分析：

解直角三角形的应用-方向角问题。

题干分析：

（1）要求几点到达c处，需要先求出ac的距离，根据时间=距离除以速度，从而求出解．

（2）船和灯塔的距离就是bc的长，作出cb的延长线交ad于e，根据直角三角形的角，用三角函数可求出ce的长，减去be就是bc的长．

解题反思：

本题考解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键理解西南方向，正北方向从而找出角的度数，作出辅助线构成直角三角形从而可求出解。

解直角三角形是初中数学的重要内容．利用直角三角形的边角关系能解决生活中的实际问题。

​解直角三角形，典型中考例题分析2：

小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点o距离地面的高oo′＝2米．当吊臂顶端由a点抬升至a′点（吊臂长度不变）时，地面b处的重物（大小忽略不计）被吊至b′处，紧绷着的吊缆a′b′＝ab．ab垂直地面o′b于点b，a′b′垂直地面o′b于点c，吊臂长度oa′＝oa＝10米，且cosa＝3/5，sina′＝1/2．

（1）求此重物在水平方向移动的距离bc；

（2）求此重物在竖直方向移动的距离b′c．（结果保留根号）

​

​考点分析：

解直角三角形的应用；几何综合题。

题干分析：

此题首先把实际问题转化为解直角三角形问题来解决，（1）先过点o作od⊥ab于点d，交a′c于点e，则得出ec＝db＝oo′＝2，ed＝bc，通过解直角三角形aod和a′oe得出od与oe，从而求出bc．

（2）先解直角三角形a′oe，得出a′e，然后求出b′c．

解题反思：

此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题来解决，本题运用了直角三角形函数及勾股定理。

​解直角三角形是初中数学的重要知识点，也是考查同学们解决实际问题能力的中考热点。此类题列式和求解过程一般比较简单，关键是理清直角三角形的边角关系，还要能根据题意正确画图或识图。

三角形是平面几何图形中最基本的图形之一，因为很多复杂的图形都可以通过做辅助线转化为三角形来解决。其中最特殊的、最重要的三角形应该为直角三角形。

解直角三角形，典型中考例题分析3：

正在修建的高速公路某处需要打通一条隧道，工作人员为初步估算隧道的长度．现利用勘测飞机在与a的相对高度为1500米的高空c处测得隧道进口a处和隧道出口b处的俯角分别为53°和45°（隧道进口a和隧道出口b在同一海拔高度），计算隧道ab的长．（参考数据：sin53°=4/5，tan53°=4/3）

​考点分析：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题。

题干分析：

根据题意得出cd=1500m，∠cad=53°，∠cbd=45°，即可得出cd=bd，以及利用解直角三角形求出即可．

解题反思：

此题主要考查了仰角与俯角问题，此题型是中考中热点题型，同学们应学会从已知中得出线段与角的大小关系是解决问题的关键。

​​因此直角三角形在初中数学中占有举足轻重的地位，这部分内容也受到越来越多的命题人的亲睐，成为各地中考的必考内容、热点内容。解决此类问题的关键在于构建直角三角形模型，其思路一般是构建一个或两个直角三角形，利用三角函数直接解决或根据图形中的数量关系建立方程解决。

解直角三角形，典型中考例题分析4：

某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝．其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线me、nf与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1：3.7，桥下水深=5米．水面宽度cd=24米．设半圆的圆心为o，直径ab在坡角顶点m、n的连线上．求从m点上坡、过桥、下坡到n点的最短路径长．（参考数据：π≈3， 3≈1.7，tan15°= 12 3）

​解：已知cd=24，0p=5，

∴pd=12，

∴od2=op2 pd2=52 122=169，

∴od=13，则oe=of=13，

已知坡度i=1：3.7和tan15°= 12 3=1：3.7，

∴∠m=∠n=15°，

∴cot15°=2 3，

∴me=fn=13•cot15°=12×（2 3）=24 12 3，

∠eom=∠fon=90°-15°=75°，

∴∠eof=180°-75°-75°=30°，

∴ ef^= 30360×2π×13= 136π，

∴me ef^ fn=24 12 3 136π 24 12 3≈95.3．

答：从m点上坡、过桥、下坡到n点的最短路径长为95.3米．

考点分析：

解直角三角形的应用-坡度坡角问题、几何图形问题．

题干分析：

首先明确从m点上坡、过桥、下坡到n点的最短路径长应为如图me ef^ fn，连接如图，把实际问题转化为直角三角形问题，由已知求出od即半径，再由坡度i=1：3.7和tan15°= 12 3=1：3.7，得出∠m=∠n=15°，因此能求出me和fn，所以求出∠eom=∠fon=90°-15°=75°，则得出 ef^所对的圆心角∠eof，相继求出弧ef的长，从而求出从m点上坡、过桥、下坡到n点的最短路径长．

解题反思：

此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是由已知先求出半圆的半径和∠m和∠n，再由直角三角形求出mf和fn，求出弧ef的长。

纵观全国各地中考数学试卷，解直角三角形的应用问题一直是中考必考热门题型．常常以计算物体的高度（如旗杆的高度、楼房的高度、山的高度），解决航行问题（如求航行时间、航行速度，判断是否有触礁危险）等题型来考查考生，大家只要掌握好直角三角形相关知识内容，熟练解题方法，相信能拿到相应的分数。

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