比的知识点梳理|我终于弄明白什么是比

分数与比

什么是比？现行小学数学教材是这样定义的：两个数相除，又叫两个这两个数的比。如，6÷4写作6︰4，读作出6比4。在课堂上，学生曾经对此提出质疑：“既然两个数相除，又叫做这两个数的比，那么为什么还要学比呢？”老师也因为一时无法给予学生满意的解释而感到尴尬、无奈。

比的由来

关于“比”，《辞海》的注释是：数学名词。比较两个同类量a和b的关系时，如果以b为单位来度量a，称为a比b，所得的数k称为“比值”，记a∶b =k或

=k。“︰”叫比号，比号前面的a叫比的前项，比号后面的b叫比的后项。

长度、面积、体积、质量、时间等常见的量，都是物体可度量的属性。度量包含“度”和“量”两个方面，“度”是度量单位，“量”是测量；表示度量结果的数k，就是量数。实际上，量数k就是量与度量单位（两个同类量）的比值。

比的这种解释虽然说明了比是在比较两个量的关系时产生的，但它的缺陷是不能概括生活中需要比较两个不同类量的情形。

我们知道，物体除了可度量的属性外，还有许多不可度量的属性，例如形状、速度、单价、颜色、质地等等。这些属性虽然不可直接度量，但它们也需要比较，例如，“这两张图像不像？”“谁跑得快？”等等。

例1 观察下面的长方形，哪些长方形与长方形a比较像？（北师大数学六年级上册生活中的比情境图）

长方形的形状与它的长、宽有关。长方形b和d都像长方形a，原因是这三个长方形的长都是它们宽的1.5倍。

长方形c和e都不像长方形a，原因是长方形c长不是它宽的1.5倍，长方形e的长也不是它宽的1.5倍。

虽然长方形的形状不可度量，但它却能通过长方形的两个可度量的量——长和宽进行比较。

例2 谁的速度快？

比较谁的速度快，常用两种方法：在相同的时间内，看谁跑得远；或者，跑同样的路程，看谁用的时间少。

如果骑车2时，那么行程是45千米的2/3=30千米。

如果骑车40千米，那么需要时间是3时的40/45=8/3时。

经过必要的计算与比较，可知马拉松选手的速度比骑车者快。

虽然速度是不可直接度量的量，但它却能通过路程与时间这两个可度量的量进行比较。

上面的两个范例告诉我们，比源于度量，又超越了度量。度量解决的是物体可度量的属性的可比性问题，但度量只能解决同类量之间的比较问题。比是通过两个可度量的具有对等关系的量来刻画物体不可度量的属性，解决物体不可度量的属性的可比性问题。所谓两个对等关系的量是指与同一个事物对应的两个量，它们可能是同类量（如，同一个长方形的长与宽），也可能是不同类的量（如，骑车者的行程与所用的时间）。

现实世界的比与数学世界的比的区别就在于必要的抽象。不论是两个同类量的比还是不同类量的比，到了数学世界都必须舍弃它们的物理意义，抽象成为两个数量的比；这样的两个数量可以代表部分与整体，或者部分与部分，或者两个不同的整体。在数学世界里，为了形成新旧知识之间的推理联系，需要给两个数量的比重新下定义。这个定义就是“两个数相除，又叫这两个数的比。”

分数也是比

为什么选择除法来定义比呢？

首先，比值是比的量化，而比值就是比的前项除以它的后项的商，所以选择除法定义比顺理成章。

其次，分数和比具有不同的现实背景，也是不同的数学概念，选择除法定义比，能够打通分数和比之间的本质的联系。即a︰b=a÷b=（a≠0，b≠0）

根据分数与除法的关系，我们知道分数可以作为两数相除的商，两数相除也可视为分数的一种运算结构。把两个数相除定义为这两个数比，使得分数不仅可以表示两个数的比值，而且分数本身也可以表示两个数（分子和分母）的比。

有了比的除法定义，使得除法、比和分数等重要的数学概念，被组织成了一个综合贯通、相互联系的整体结构。

分数是抽象的。分数是可化为整数比的数，但是古希腊人、罗马人都尽量避免分数的使用。例如，他们会说一所学校男生和女生的人数比是4︰3，而不说4/3的学生是男生。

根据分数的基本性质可以把所有的分数分成无穷多个等价类，每一个分数的等价类都以其中的最简分数为代表。同样地，根据比的基本性质也可以把所有的比分成无穷多个等价类，每一个比的等价类也以其中的最简整数比为代表。

最简分数也是最简的整数比。

百分数也叫百分比

我国人口约占世界人口的21％，但我国的耕地面积仅约占世界耕地面积的7％。21％和7％这两个数，帮助我们了解中国的国情：耕地面积少而人口众多。因此，我们必须自力更生，奋发图强，搞好农业，确保我国的粮食安全。

根据我国居民平衡膳食的要求，每人每天谷类食物的摄入量约占食物总摄入量的47.4％，而油脂类仅占1.3％。

像21％，7％，47.4％， 1.3％，……这样的数叫作百分数，表示一个数是另一个数的百分之几。换句话说，百分数是表示两个数的比的分数。所以，百分数也叫百分比，百分率。

内容决定形式，形式服务于内容。由于百分数只含“比率”的意义，所以它也被赋予特殊的形式，即用百分号“％”替代分母100。

在分数、小数和百分数之间，究竟存在怎样的关系呢？例如3/10，0.3，30％。

答案是3/10，0.3，30％是同一个数。因为在数线上它们表示同一个点。为什么同一个数需要不同形式？

同一个数的不同形式，都有各自适用的场合，也就是说，在不同的场合需要用到数的不同的形式。所以，对于同一个数的不同形式，必须掌握它们互化的方法和技能，并会根据不同的场合选择数的恰当的形式。

,